泰勒展开（Taylor expansion）是一种用无限次可导的函数在某点处的函数值和导数来逼近该函数的方法。在数学中，泰勒公式给出了一个实或复变量的函数在某个点处的幂级数展开式。如果 $f$ 在 $x_0$ 处具有 $n+1$ 阶连续导数，则它可以表示为以下形式的泰勒级数：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

其中$f^{(n)}(x)$ 表示$f$ 的$n$ 阶导数。泰勒展开在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用，常用于数值计算和函数逼近。

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三角展开

$\sin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3)$

$\arcsin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$\arcsin x = x + \cfrac{x^3}{3!} + o(x^3)$

$\tan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$\tan x = x + \cfrac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\arctan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$\arctan x = x - \cfrac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\cos x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：($\sin x'$)

$\cos x = 1 - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} + o(x^4)$

函数展开

$\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

$e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$

$(1+x)^\alpha$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots$